消元思想的应用
引例:解方程组
分析:乍一看此题很麻烦,但当我们仔细观察两个方程中同一未知数的系数关系时,很容易看到,(1)与(2)中含有 的项都是3 ,所以可以直接把(2)代入(1)消去 。
解:把(2)代入(1),得 。
,解得 =6。
把 =6代入(2),解得 = 。
∴ 方程组的解是
代入法和加减法消元是解二元一次方程组的基本方法之一,对某些系数呈一定规律的方程组,若能灵活运用代入法,则可获得巧解。
一、简化系数代入
例1 解方程组
分析:观察方程组中的未知数的系数,方程(1)中 的系数比方程(2)中 的系数大1,可以简化系数后再代入消元。
解:(1)-(2),得 -3 =-2。
∴ =3 -2。 (3)
把(3)代入(1),得 3(3 -2)+2 =5。
解得 =1。
把 =1代入(3),解得 =1。
∴ 方程组的解是
背景资料:初一学生为布置板报,购买了甲、乙两种彩纸,若购买甲种彩纸3张,乙种彩纸2张需花费5元钱;若购买甲种彩纸2张,乙种彩纸5张需花费7元钱.问这两种彩纸每张各卖多少元?
二.整体代入
例2 解方程组
分析:两个方程都含有( -1),且系数也相同,可把(1)中4( -1)看成一个整体,直接代入(2)中即可消去 。
解:把(1)代入(2),得 5( -1) =5+ +22。
解得 y=8。
把y=8代入(1),解得 。
∴ 方程组的解是
背景资料:甲、乙两个数,甲数与1的差的4倍比乙数大5;甲数与1的差的4倍比乙数与1的差的5倍小24.求这两个数.
三、换元代入法
例3 解方程组
分析:方程组的两个方程中均含有 与 ,不再含有其它因式,故可设 = , = ,再代入消元,使运算简便。
解:设 = , = ,则方程组可化为
解得
即 解得
∴ 方程组的解是
背景资料:两个代数式 与 的和为1; 与 的差为5,求x,y的值.
四.探索方程组解法的应用
例4已知方程组 中,x、y的系数部已经模糊不清,但知道其中□表示同一个数,△也表示同一个数, 是这个方程组的解,你能求出原方程组吗?
方法训练:
1.用加减法解下列方程组 较简便的消元方法是:将两个方程_______,消去未知数_______.毛
①②
-2.已知方程组 ,,用加减法消x的方法是__________;用加减法消y的方法是________.
-6.方程组 的解_________.
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-4.解方程组 比较简便的方法为( )
- A.代入法- B.加减法- C.换元法- D.三种方法都一样
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